题目内容

10．如图所示为在竖直平面内建立的坐标系xOy，在xOy的第一象限内，x=4d处竖直放置高l0=2$\sqrt{2}$d粒子吸收板CD，x=5d处竖直放置一个长l=5d的粒子吸收板MN，在MN左侧存在垂直纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，右侧存在竖直向下的匀强电场．在原点O处有一粒子源，可以沿y轴正向射出质量为m、电量为+q的不同速率的带电粒子，已知电场强度为$\frac{10q{B}^{2}d}{m{π}^{2}}$，粒子的重力及粒子间的相互作用力均忽略不计，打到板CD、MN上的粒子均被吸收．
（1）若从O点射出的粒子能打到板MN上，求粒子的速度v的大小；
（2）若某粒子恰好能够从M点（刚好未碰到吸收板）进入到电场，求该粒子到达x轴时的动能；
（3）某粒子恰好能够从M点（刚好未碰到吸收板）进入到电场，求该粒子从O点射出到通过x轴所用的时间．

分析 （1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，分两种临界情况：①打在吸收板MN的粒子过粒子吸收板CD上边界D点，②打在吸收板MN的粒子过粒子吸收板CD上边界M点，分别求解速度，得到速度的取值范围；
（2）粒子从M点到x轴，根据动能定理列式可得该粒子到达x轴所用的动能；
（3）从O到M粒子做$\frac{1}{4}$圆周运动，根据$t=\frac{θ}{2π}T$求解时间，粒子在电场中做类平抛运动，分解为沿x轴的匀速运动和沿y轴的匀加速运动，根据运动学公式求解时间．

解答 解：（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，①若打在吸收板MN的粒子过粒子吸收板CD上边界D点，设粒子的速率为v1，粒子的轨道半径为r1，由几何关系可知：${r}_{1}^{2}=（2\sqrt{2}d）^{2}+（4d-{r}_{1}）^{2}$
解得：r1=3d
由牛顿第二定律可得：$q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
联立可得：${v}_{1}=\frac{3qdB}{m}$
②若打在吸收板MN的粒子过粒子吸收板CD上边界M点时速率为v2，粒子轨迹的圆心在N点，由图中几何关系可知粒子的轨道半径r2=5d
由牛顿第二定律可得：$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
联立可得：${v}_{2}=\frac{5qdB}{m}$
故射出的粒子能打在MN上，粒子的速度需满足：$\frac{3qdB}{m}≤v≤\frac{5qdB}{m}$
（2）粒子从M点到x轴，设粒子到达x轴时的动能为Ek，由动能定理可得：$qEl={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
联立解得：${E}_{k}=\frac{25{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}{m}（\frac{2}{{π}^{2}}+\frac{1}{2}）$
（3）从O到M粒子做$\frac{1}{4}$圆周运动，从O到M的时间${t}_{1}=\frac{θ}{2π}T$，又由$T=\frac{2πm}{qB}$，联立解得：${t}_{1}=\frac{mπ}{2qB}$
粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t2，由运动学公式可得：$5d=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{2}^{2}=\frac{5{q}^{2}{B}^{2}d}{{m}^{2}{π}^{2}}{t}_{2}^{2}$
解得：${t}_{2}=\frac{mπ}{qB}$
能够从M点进入到电场的粒子，从O点射出到回到x轴所用的时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{3mπ}{2qB}$
答：（1）若从O点射出的粒子能打到板MN上，粒子的速度需满足：$\frac{3qdB}{m}≤v≤\frac{5qdB}{m}$；
（2）若某粒子恰好能够从M点（刚好未碰到吸收板）进入到电场，该粒子到达x轴所用的动能为${E}_{k}=\frac{25{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}{m}（\frac{2}{{π}^{2}}+\frac{1}{2}）$；
（3）若某粒子恰好能够从M点（刚好未碰到吸收板）进入到电场，该粒子从O点射出到通过x轴所用的时间为$\frac{3mπ}{2qB}$

点评 本题要分析清楚粒子的运动规律，首先要对物体的运动进行分段，然后对物体在各段中进行正确的受力分析和运动的分析，进行列式求解．

练习册系列答案
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D．导体棒ab开始运动后任一时刻，F的功率总等于导体棒ab和电阻R的发热功率之和

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