Question

12．如图所示，A船从港口P出发去拦截正以速度v₀沿直线航行的B船，A船启动时，B船位于M位置，P与B船所在航线的垂直距离为a，P与M的距离为b，设A船启航就做匀速直线运动，A船能拦截到B船的最小速度为$\frac{a{v}_{0}}{b}$．

Answer 1

分析 对A的速度沿MN和PN的方向进行正交分解，利用等时性在MN和PN的方向上列式，通过数学知识的推导，即可得知A船能拦截到B船的最小速度．

解答 解：对B船的速度沿MN和PN的方向进行正交分解为v_x和v_y，有运动的等时性有：
$\frac{a}{{v}_{y}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{{v}_{0}-{v}_{x}}$
得：v_y=$\frac{a（{v}_{0}-{v}_{x}）}{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}$…①
A船的速度为：
v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$…②
折MN的长度为c，有：b²-a²=c²…③
将①式代入②式并结合③式得：
v=$\sqrt{\frac{（b{v}_{x}-\frac{{a}^{2}{v}_{0}}{b}）^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{a}^{2}{v}_{0}^{2}}{{b}^{2}}}$
当且仅当$b{v}_{x}=\frac{{a}^{2}{v}_{0}}{b}$时，v有最小值，为：
v=$\frac{a{v}_{0}}{b}$
故答案为：$\frac{a{v}_{0}}{b}$

点评 该题是一道非常容易出错的一道题，往往会认为A船沿PN的方向航行，速度最小．解答该题的关键是把A船的速度进行正交分解后，根据数学知识列式并推导出A的速度的表达式，结合数学知识判断A船的速度由极值的条件，继而可得A船的最小速度．该题还可利用相对运动的知识求解，以B为参考系，A相对于B的运动就是沿PM方向做匀速直线运动，也可得知A船最小速度．