题目内容
（2012?长沙模拟）如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场．在t=0时刻，一位于正方形区域中心O的粒子源在abcd平面内向各个方向发射出大量带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长，不计重力和粒子之间的相互作用力．已知平行于ad方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的某点离开磁场，求：（1）粒子的比荷
| q | m |
（2）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间；
（3）假设粒子源发射的粒子在各个方向均匀分布，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比．
分析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由题粒子的轨迹半径等于正方形的边长．画出平行于ad方向发射的粒子运动轨迹，由几何关系求出轨迹的圆心角θ，根据t=t0=
T，及周期公式T=
求得
．
（2）由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的轨迹半径相等，运动轨迹最长的粒子在磁场中运动时间也最长，画出在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹，根据几何知识确定出该粒子轨迹对应的圆心角，即可求出最长时间，即为从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．
（3）由题意，同一时刻在磁场中的粒子到O点的距离应相等，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心、OK为半径的圆弧上，画出轨迹，根据几何知识求得在磁场中运动的粒子区域的圆心角，即可求得仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比．
| θ |
| 2π |
| 2πm |
| qB |
| q |
| m |
（2）由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的轨迹半径相等，运动轨迹最长的粒子在磁场中运动时间也最长，画出在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹，根据几何知识确定出该粒子轨迹对应的圆心角，即可求出最长时间，即为从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．
（3）由题意，同一时刻在磁场中的粒子到O点的距离应相等，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心、OK为半径的圆弧上，画出轨迹，根据几何知识求得在磁场中运动的粒子区域的圆心角，即可求得仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比．
解答：
解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，初速度平行于ad方向发射的粒子运动轨迹如图，其圆心为O1．设正方形边长为L，由几何关系得：
sin∠OO1k=
=
，得∠OO1k=
则t=t0=
T=
，
又T=
解得
=
（2）如图在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应过正方向区域的顶点，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则
sin
=
=
在磁场中运动的最长时间为t=
T=
t0
所以从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为
t0；
（3）依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点的距离相等，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心、Ok为半径的圆弧上，画出轨迹．
由几何关系得
∠nOk=
所以在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为
=
．
答：（1）粒子的比荷
为
；
（2）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间是
t0；
（3）在t=t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比是
．
解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，初速度平行于ad方向发射的粒子运动轨迹如图，其圆心为O1．设正方形边长为L，由几何关系得：sin∠OO1k=
| ||
| L |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
则t=t0=
| ||
| 2π |
| T |
| 12 |
又T=
| 2πm |
| qB |
解得
| q |
| m |
| π |
| 6Bt0 |
（2）如图在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应过正方向区域的顶点，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则
sin
| θ |
| 2 |
| ||||||
| L |
| ||
| 4 |
在磁场中运动的最长时间为t=
| θ |
| 2π |
12arcsin
| ||||
| π |
所以从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为
12arcsin
| ||||
| π |
（3）依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点的距离相等，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心、Ok为半径的圆弧上，画出轨迹．
由几何关系得
∠nOk=
| π |
| 12 |
所以在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为
2π-8×
| ||
| 2π |
| 2 |
| 3 |
答：（1）粒子的比荷
| q |
| m |
| π |
| 6Bt0 |
（2）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间是
12arcsin
| ||||
| π |
（3）在t=t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比是
| 2 |
| 3 |
点评：本题的解题关键是画出粒子的运动轨迹，根据几何知识确定隐含的极值条件和粒子运动轨迹对应的圆心角．
练习册系列答案
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