Question

如图所示，两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨相距为L=1m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端连接R=1.5Ω的电阻．质量为m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的金属棒ab放在两导轨上，与导轨垂直并接触良好，距离导轨最上端d=4m，整个装置处于匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向上．
（1）若磁感应强度B=0.5T，将金属棒释放，求金属棒匀速下滑时电阻R两端的电压；
（2）若磁感应强度的大小与时间成正比，在外力作用下ab棒保持静止，当t=2s时外力恰好为零．求ab棒的热功率；
（3）若磁感应强度随时间变化的规律是B=0.05cos100πt（T），在平行于导轨平面的外力F作用下ab棒保持静止，求此外力F的大小范围．

Answer 1

分析：（1）金属棒匀速下滑时，棒所受的安培力与重力沿斜面向下的分力大小相等，而安培力与速度成正比，由平衡条件即可求出棒匀速运动的速度v，由E=BLv和欧姆定律结合求解电阻R两端的电压．
（2）若磁感应强度的大小与时间成正比，设为B=kt．电路中产生的感应电动势和感应电流恒定，根据法拉第电磁感应定律得到安培力的表达式．当t=2s时外力恰好为零，ab棒保持静止，mgsinθ与安培力大小相等，可求出k和电流I，即可求出ab棒的热功率；
（3）若磁感应强度随时间变化的规律是B=0.05cos100πt（T）时，推导出安培力与时间的关系式，由数学知识求出安培力的最大值．

解答：解：（1）金属棒匀速下滑时，由平衡条件得  mgsinθ-

B2L2v

R+r

=0，得
   v=

mgsin(R+r)

B2L2

又  E=BLv，UR=

R

R+r

E
联立解得：U_R=3V
（2）磁感应强度的大小与时间成正比，则有 B=kt
回路中的电动势  E=

△φ

△t

=

△B

△t

S=KLd
回路中的电流 I=

E

R+r

当外力为零时，mgsinθ-BIL=0
联立得  mgsinθ=

k2L2dt

R+r

代入解得，k=0.5
则得 I=

KLd

R+r

=1A
故ab上消耗的功率P=I²r
解得：P=0.5W
（3）回路中的电动势 E=

△φ

△t

=

△B

△t

S=B0ωLdsinωt
回路中的电流 I=

E

R+r

棒受到的安培力 F_安=BIL
解得：F安=

B 2 0 L2dωsin(2ωt)

2(R+r)

安培力的最大值F_安=

π

4

N
当安培力沿斜面向上时，外力最小，最小值为：F_min=mgsinθ-F_安=1-

π

4

(N)
当安培力沿斜面向下时，外力最大，最大值为：F_max=mgsinθ-F_安=1+

π

4

(N)
故外力的大小范围：(1-

π

4

)N≤F≤(1+

π

4

)N
答：
（1）金属棒匀速下滑时电阻R两端的电压是3V；
（2）ab棒的热功率是0.5W；
（3）ab棒保持静止时此外力F的大小范围为：(1-

π

4

)N≤F≤(1+

π

4

)N．

点评：本题的解题关键是安培力的计算，要能熟练地由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式推导出安培力的表达式．