题目内容

3．如图所示，让摆球从图中的A位置由静止开始下摆，初始时细线拉直且与竖直方向夹角为θ=60°，当小球摆到最低点B位置时线恰好被拉断．设摆长为L，悬点O到地面的竖直高度为H，不计空气阻力，求：
（1）摆球在B位置时的速度； 
（2）细线所能承受的最大拉力T；
（3）若保持悬点O与地面距离H及θ角不变，改变绳长L，且维持小球的静止释放，求当L为多少时，悬点O正下方的C与落地点D之间的距离最大，最大距离是多少？

分析 （1）对AB过程由动能定理可求得B点的速度；
（2）根据向心力公式可求得绳子需要的拉力；
（3）由平抛运动的规律可求得水平位移的表达式，再由数学规律可求得最大值．

解答 解：（1）对小球由A到B运动过程，根据动能定理有：
mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mvB2               
解得：vB=$\sqrt{gL}$
（2）当小球摆到B位置时，以小球为研究对象
T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
解得：T=2mg
（3）绳断后，小球做平抛运动，根据平抛运动规律有
H-L=$\frac{1}{2}$gt2
x=vBt
联立得：x=$\sqrt{2HL-2{L}^{2}}$=$\sqrt{-2（L-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{2}}$
由数学规律可得：
L=$\frac{H}{2}$时，x最大，最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$H；
答：（1）摆球在B位置时的速度为$\sqrt{gL}$
（2）细线所能承受的最大拉力为2mg；
（3）当L为$\frac{H}{2}$时，悬点O正下方的C与落地点D之间的距离最大，最大距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$H

点评 本题考查动能定理、平抛运动的综合应用，要注意掌握第三问中极值的计算方法，要灵活应用所学数学知识进行分析求解．

练习册系列答案
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