Question

11．倾角37°、长度为4m的斜面顶端静止释放一个质量为m=1kg的物体（视为质点）．物体到达斜面底端后滑上原来静止于光滑地面的长木板（可认为物体滑上木板前后瞬间速度大小不变），已知长木板质量为M=4kg，物体与斜面的动摩擦因数μ₁=0.5，与木板间的动摩擦因数μ₂=0.4．求：（g取10m/s²）
（1）物体沿斜面到斜面底端的速度大小？
（2）如果物体最终与木板一起运动，求物体的最小速度？
（3）要物体不掉下木板，则木板的最小长度为多少？

Answer 1

分析 （1）先对滑块受力分析后根据牛顿第二定律列式求解加速度，在根据速度位移公式列式求解末速度；
（2）滑块滑上木板后，滑块减速、木板加速，根据牛顿第二定律列式求解两个物体的加速度，根据运动学公式列式求解速度和时间；
（3）根据位移时间关系公式列式求解位移，得到相对位移．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律，有：
mgsinθ-μ₁mgsinθ=ma
解得：
a=2m/s²
根据速度位移公式，有：
v_t=$\sqrt{2aL}$=$\sqrt{2×2×4}$=4m/s
（2）在长木板上滑行时，滑块的加速度：a₁=-μ₂g=-4m/s²
木板的加速度：a₂=$\frac{{μ}_{2}mg}{M}$=1m/s²
速度相等时，根据速度公式，有：
vt+a₁t=a₂t
解得：
t=$\frac{{v}_{t}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{4}{1+4}$=0.8s
故滑块的最小速度：
v₁=vt+a₁t=4-4×0.8=0.8m/s
（3）滑块位移：x₁=$\frac{{v}_{t}+{v}_{1}}{2}$t=$\frac{4+0.8}{2}$×0.8=1.92m
木板位移：x₂=$\frac{{v}_{1}}{2}$t=$\frac{0.8}{2}$×0.8=0.32m
故相对位移：△x=1.92m-0.32m=1.6m
即木板的最短长度为1.6m．
答：（1）物体沿斜面到斜面底端的速度大小为4m/s；
（2）如果物体最终与木板一起运动，物体的最小速度为0.8m/s；
（3）要物体不掉下木板，则木板的最小长度为1.6m．

点评 本题关键是明确滑块和滑板的受力情况和运动情况，根据牛顿第二定律列式求解加速度，再根据运动学公式列式求解，不难．