Question

（2005?肇庆模拟）如图所示，由粗细相同的导线制成的正方形线框边长为L，每条边的电阻均为R，其中ab边材料的密度较大，其质量为m，其余各边的质量均可忽略不计，线框可绕与cd边重合的水平轴OO′自由转动，不计空气阻力和摩擦，若线框从水平位置由静止释放，经历时间t到达竖直位置，此时ab边的速度大小为v，若线框始终处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，重力加速度为g．求：
（1）线框至竖直位置时，ab边两端的电压及所受安培力的大小．
（2）在这一过程中，线框中感应电流做的功及感应电动势的有效值．
（3）在这一过程中，通过线框导线横截面的电荷量．

Answer 1

分析：（1）根据切割产生的感应电动势公式求出电动势，根据闭合电路欧姆定律求出ab两端的电压，以及电流的大小，通过安培力大小公式求出安培力的大小．
（2）根据能量守恒定律求出整个过程中的热量，抓住克服克服力做功等于产生的热量求出感应电流做的功，以及通过热量的公式求出感应电动势的有效值．
（3）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求出平均电流，从而求出通过线框导线横截面的电荷量．

解答：解：（1）线框运动到竖直位置时，ab边切割磁感线产生感应电动势为：
E=BLv
线框中的电流为：I=

E

4R

ab两端的电压为Uab=I?3R=

3

4

BLv
ab边所受安培力为F安=BIL=

B2L2v

4R

（2）线框下落过程中机械能的减少等于线框中产生的焦耳热，所以有：
mgL-

1

2

mv2=Q
所以感应电流做功为mgL-

1

2

mv2．
又因Q=(

E有

4R

)2?4R?t
解得：E有=2

(mgL- 1 2 mv2)R t

（3）对于线框的下摆过程，垂直磁场线框的面积变化为：
△s=L²
线框中的平均感应电动势为：

.

E

=

△Φ

△t

线框中的平均电流为：

.

I

=

. E

4R

=

B△S

4R△t

通过导线横截面的电荷量为：
q=

.

I

△t=

BL2

4R

答：（1）线框至竖直位置时，ab边两端的电压为

3

4

BLv，安培力大小为

B2L2v

4R

．
（2）在这一过程中，线框中感应电流做的功为mgL-

1

2

mv2，感应电动势的有效值为E有=2

(mgL- 1 2 mv2)R t

．
（3）在这一过程中，通过线框导线横截面的电荷量

BL2

4R

．

点评：解决本题的关键掌握瞬时感应电动势和平均感应电动势的求法，以及知道它们的区别．