Question

如图所示，在同一竖直平面内两正对着的相同半圆光滑轨道，轨道半径R=2m，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一质量M=0.1kg的小球能在其间运动．今在最低点B与最高点A各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来．已知小球在最低点B的速度为v_B=20m/s，取g=10m/s²，不计空气阻力．求：
（1）小球在最低点B对轨道的压力．
（2）小球能沿光滑轨道运动到最高点A时，x的最大值．
（3）若半圆轨道的间距x可在零到最大值之间变化，试在图中画出小球对轨道B、A两点的压力差随距离x变化的图象．

Answer 1

分析：（1）小球在最低点时，受到重力和轨道的支持力作用，两者的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出支持力，再根据牛顿第三定律得到小球在最低点B对轨道的压力．
（2）当小球恰好到达最高点A时，x达到最大．此时由重力提供小球的向心力，由向心力公式列出A点速度表达式；小球从A到B的过程，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得出x的最大值．
（3）根据牛顿定律分别研究B、A两点的压力，得到压力之差的表达式，再画出图象．

解答：解：
（1）小球在最低点时，根据牛顿第二定律得
         F_B-Mg=M

v 2 M

R

       代入解得F_B=21N 
  又根据牛顿第三定律：小球在最低点B对轨道的压力为21N．
（2）小球恰好到达最高点A时，
     Mg=M

v 2 A

R

                  ①
小球从A到B的过程，根据机械能守恒定律得
    Mg（2R+x）+

1

2

M

v

2 A

=

1

2

M

v

2 B

  ②
联立①②，代入解得   x=15m
（3）设小球对轨道B、A两点的压力大小分别为F_B、F_A．
以小球为研究对象，根据牛顿第二定律得
    A点：Mg+F_A=M

v 2 A

R

         ③
    B点：F_B-Mg=M

v 2 B

R

         ④
又Mg（2R+x）+

1

2

M

v

2 A

=

1

2

M

v

2 B

  ⑤
△F_N=F_B-F_A ⑥
联立③④⑤⑥得
△F_N=x+6 
作图象如图．  
答；
（1）小球在最低点B对轨道的压力为21N．
（2）小球能沿光滑轨道运动到最高点A时，x的最大值为15m．
（3）小球对轨道B、A两点的压力差随距离x变化的图象如图所示．

点评：本题考查综合运用机械能守恒定律和牛顿定律分析动力学问题的能力．图象往往根据物理规律推导出解析式，再根据数学知识作图．