Question

20．如图所示一半径为R内壁光滑的半圆弧槽固定于地面上，可视为质点的质量为m的B球静止于轨道最低点，若将可视为质点的质量为2m的小球A由图示位置（小球与轨道圆心的连线与竖直方向成60°角）静止释放，两小球在最低点发生碰撞，重力加速度为g．
①若发生弹性碰撞，求碰后B上升的最大高度；
②若碰撞后粘在一起，求碰撞过程中损失的机械能．

Answer 1

分析 ①先对A球下落的过程，根据动能定理求出运动到最低点的速度，若发生弹性碰撞，则碰撞过程中，AB两球组成的系统动量守恒，机械能也守恒，据此列式求出碰撞后B球的速度，再对B球应用动能定理即可求解上升的最大高度；
②若碰撞后粘在一起，则碰撞后AB速度相等，根据动量守恒定律求出共同速度，从而求出碰撞过程中损失的机械能．

解答 解：①对A运动到最低点的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}×2m{{v}_{0}}^{2}=2mg（R-Rcos60°）$
解得：${v}_{0}=\sqrt{gR}$，
若发生弹性碰撞，则碰撞过程中，AB两球组成的系统动量守恒，机械能也守恒，以v₀的方向为正，则有：
2mv₀=2mv₁+mv₂
$\frac{1}{2}×2m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}×m{{v}_{2}}^{2}$，
解得：v₂=$\frac{4}{3}\sqrt{gR}$，
对B上升的过程中，根据动能定理得：
$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
解得：h=$\frac{8{{v}_{0}}^{2}}{9g}$
②若碰撞后粘在一起，则碰撞后AB速度相等，以v₀的方向为正，根据动量守恒定律得：
2mv₀=（2m+m）v
解得：v=$\frac{2}{3}\sqrt{gR}$
则碰撞过程中损失的机械能$△E=\frac{1}{2}×2m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（2m+m）{{v}_{\;}}^{2}$=$\frac{1}{3}mgR$
答：①若发生弹性碰撞，碰后B上升的最大高度为$\frac{8{{v}_{0}}^{2}}{9g}$；
②若碰撞后粘在一起，碰撞过程中损失的机械能为$\frac{2}{3}\sqrt{gR}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律以及能量守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况，注意应用动量守恒定律解题时要规定正方向，难度适中．