Question

（2010?湘潭一模）我国在2010年实现探月计划--“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球绕地球的运动时，由地球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律列出月球的轨道半径与地球质量等物理量的关系式；物体在地球表面上时，由重力等于地球的万有引力求出地球的质量，再求出月球的轨道半径．
（2）小球在月球表面做竖直上抛运动，由t=

2v0

g月

求出月球表面的重力加速度，根据g_月=

GM月

r2

求出月球的质量M_月．

解答：解：
（1）根据万有引力定律和向心力公式：
   G

M月M

r2

=M月(

2π

T

)2r（1）
   mg=G

Mm

R2

（2）
解（1）（2）得：r=

3	gR2T2 4π2

（2）设月球表面处的重力加速度为g_月，根据题意：
得到  t=

2v0

g月

         （3）
又g_月=

GM月

r2

          （4）
解（3）（4）得：M_月=

2v0r2

Gt

      
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径是

3	gR2T2 4π2

；
    （2）月球的质量M_月=

2v0r2

Gt

．

点评：本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．