题目内容
（2008?东莞模拟）光滑的长轨道形状如下图所示，底部为半圆型，半径为R，固定在竖直平面内．AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将AB两环从图示位置静止释放，A环离开底部2R．不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求：（1）AB两环都未进入半圆型底部前，杆上的作用力．
（2）A环到达最低点时，两环速度大小．
（3）若将杆换成长2
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分析：（1）两个环以及连杆整体自由下落，处于完全失重状态，故杆上弹力为零；
（2）A环到达最低点时，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等；根据几何关系找到B环的位置，然后根据机械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）由于杆长超过了半圆直径，故A环一直在下方，速度为零时，结合几何关系并根据机械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．
（2）A环到达最低点时，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等；根据几何关系找到B环的位置，然后根据机械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）由于杆长超过了半圆直径，故A环一直在下方，速度为零时，结合几何关系并根据机械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．
解答：解：（1）对整体分析，自由落体，加速度g，以A为研究对象，A作自由落体则杆对A一定没有作用力．即F=0
故AB两环都未进入半圆型底部前，杆上的作用力为零．
（2）AB都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等，即VA=VB
对整体依机械能守恒定律，有：mg?2R+mg?
R=
?2mv2
解得
v=
故A环到达最低点时，两环速度大小均为
．
（3）由于杆长超过了半圆直径，故最后A环在下，如图；
设A再次上升后，位置比原来高h，如下图所示．
由机械能守恒，有：-mgh+mg(2
R-2R-h)=0
解得h=(
-1)R，故A离开底部(
+1)R
故若将杆换成长2
R，A环仍从离开底部2R处静止释放，经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度为(
+1)R．
故AB两环都未进入半圆型底部前，杆上的作用力为零．
（2）AB都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等，即VA=VB
对整体依机械能守恒定律，有：mg?2R+mg?
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解得
v=
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故A环到达最低点时，两环速度大小均为
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（3）由于杆长超过了半圆直径，故最后A环在下，如图；
设A再次上升后，位置比原来高h，如下图所示．
由机械能守恒，有：-mgh+mg(2
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解得h=(
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故若将杆换成长2
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点评：本题关键是根据几何关系多次得到环的具体位置，然后根据机械能守恒定律列方程求解即可．
练习册系列答案
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