Question

16．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运动到日地连线的延长线上，如图所示，试求行星与地球的公转半径之比．

Answer 1

分析 由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长，其绕太阳转的慢．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明N年地球比行星多转1圈，即行星转了N-1圈，从而再次在日地连线的延长线上，那么，可以求出行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，接着再由开普勒第三定律求解该行星与地球的公转半径比．

解答 解：由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比行星多转圆周的N分之一，N年后地球转了N圈，比行星多转1圈，即行星转了N-1圈，从而再次在日地连线的延长线上．所以行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，根据开普勒第三定律，有
$\frac{{r}_{行}^{3}}{{r}_{地}^{3}}=\frac{{T}_{行}^{2}}{{T}_{地}^{2}}$，其中${T}_{地}^{\;}=1年$
得：$\frac{{r}_{行}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}=（\frac{{T}_{行}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}）_{\;}^{\frac{2}{3}}=（\frac{N}{N-1}）_{\;}^{\frac{2}{3}}$
答：行星与地球的公转半径之比为$（\frac{N}{N-1}）_{\;}^{\frac{2}{3}}$

点评 解答此题的关键由题意分析得出每过N年地球比行星多围绕太阳转一圈，由此求出行星的周期，再由开普勒第三定律求解即可．