Question

用长为L的细线拉一质量为m的小球，小球带电量为+q，细线一端悬于固定点O，整个装置放在水平向右一足够大的匀强电场中，小球静止时细线与竖直方向的夹角为θ，电场范围足够大，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）将小球拉至O点正下方最低点由静止释放，小球向上摆动过程中的最大速度大小；
（3）在（2）问中，小球运动到最高点时细线对小球的拉力大小；
（4）若将小球拉至O点正下方最低点时给它一水平向右的初速度，小球在竖直面内做完整的圆周运动，这个初速度至少是多大？

Answer 1

分析：（1）小球静止A点时，受到重力、电场力和绳子的拉力而平衡，根据平衡条件求出电场强度的大小．
（2）将小球拉至O点正下方最低点由静止释放，小球向上摆动过程中经过平衡位置时速度最大，根据动能定理求出最大速度．
（3）小球到最高点时，速度为零，向心力为零，绳子的拉力等于重力和电场力沿法线方向的合力．
（4）当小球恰好到达A点关于悬点的对称点时，由电场力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经这点的速度，由动能定理求出初速度．

解答：解：（1）小球静止A点时，受力如图所示
据三力平衡条件，得
   tanθ=

qE

mg

解得，E=

mgtanθ

q

  ①
（2）小球运动到平衡位置时速度最大，由动能定理，得
   qELsinθ-mgL（1-cosθ）=

1

2

mv² ②
将①式代入，得
v=

2gL(1-cosθ) cosθ

  ③
小球从最底点到最高点时，速度为零，向心力为零，细线与竖直方向成α角，由动能定理，得
qELsinα-mgL（1-cosα）=0  ④
将①式代入④式，得
   tanθsinα=1-cosα
解得，α=2θ
在最高点，重力与电场力合力的法线分力与拉力平衡，设线的拉力为F
F=mgcos2θ+qEsin2θ=mgcos2θ+mgtanθ?sin2θ=mg（2cos²θ-1）+mgtanθ?2sinθcosθ=mg
（3）设B点与A点对悬点O对称，即AB为圆轨迹的直径，当小球恰好能运动到B点时，就能在竖直面内恰好做完整的圆周运动
在B点，重力与电场力的合力提供向心力
 

mg

cosθ

=m

v 2 B

L

设将小球拉至O点正下方最低点时给它一水平向右的初速度为v₀，由动能定理，得
-2mgLcosθ-qELsinθ=

1

2

mv_B²-

1

2

mv₀²
解得
v₀=

2gLcosθ+ 3gL cosθ

答：
（1）匀强电场的电场强度大小E=

mgtanθ

q

；
（2）将小球拉至O点正下方最低点由静止释放，小球向上摆动过程中的最大速度大小v=

2gL(1-cosθ) cosθ

；
（3）在（2）问中，小球运动到最高点时细线对小球的拉力大小为mg；
（4）若将小球拉至O点正下方最低点时给它一水平向右的初速度，小球在竖直面内做完整的圆周运动，这个初速度至少是v₀=

2gLcosθ+ 3gL cosθ

．

点评：本题小球的运动类似于单摆，关于平衡位置具有对称性，α=2θ．B点相当于竖直平面内圆周运动的最高点，也称为物理最高点．