Question

6．如图甲所示，一竖直平面内的轨道由粗糙斜面AD和光滑圆轨道DCE组成，AD与DCE相切于D点，C为圆轨道的最低点，将一小物块置于轨道ADC上离地面高为H处由静止释放，用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力N，改变H的大小，可测出相应的N的大小，N随H的变化关系如图乙折线PQI所示（PQ与QI两直线相连接于Q点），QI反向延长交纵轴于F点（0，5.8N），重力加速度g取10m/s²，求：

（1）求出小物块的质量m；圆轨道的半径R、轨道DC所对应的圆心角θ；
（2）小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ．

Answer 1

分析 （1）结合图象可以得到当H=0.2m时，物体恰好在斜面最低点，根据机械能守恒定律和向心力公式联立列式求解出圆轨道的半径R，然后可根据几何关系得到轨道DC所对圆心角；
（2）对滑块从最高点到C点的过程运用动能定理列式，再对最低点运用向心力公式和牛顿第二定律列式，联立后求解出弹力的一般表达式，再根据图象求解出动摩擦因素．

解答 解：（1）如果物块只在圆轨道上运动，则由动能定理得mgH=$\frac{1}{2}$mv²
解得v=$\sqrt{2gH}$；
由向心力公式F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
得F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg=$\frac{2mg}{R}$H+mg；
结合PQ曲线可知mg=5得m=0.5 kg．
由图象可知$\frac{2mg}{R}$=10得R=1 m．显然当H=0.2 m对应图中的D点，
所以cos θ=$\frac{1-0.2}{1}$=0.8，θ=37°．
（2）如果物块由斜面上滑下，由动能定理得：mgH-μmgcosθ$\frac{H-0.2}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv²
解得mv²=2mgH-$\frac{8}{3}$μmg（H-0.2）
由向心力公式得F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg=$\frac{2mg-\frac{8}{3}μmg}{R}$H+$\frac{1.6}{3}$μmg+mg
结合QI曲线知$\frac{1.6}{3}$μmg+mg=5.8，
解得μ=0.3．
答：（1）小物块的质量m；圆轨道的半径R、轨道DC所对应的圆心角37°；
（2）小物块与斜面AD间的动摩擦因数0.3．

点评 本题关键是对分析清楚滑块的各个运动过程，然后运用动能定理、机械能守恒定律和向心力公式，结合图象联立方程组求解．