Question

12．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星．已知它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G，月球半径为R
（1）求月球的质量；
（2）求月球的密度；
（3）求月球表面的重力加速度．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合卫星的周期与轨道半径的大小求出月球的质量，根据月球的体积求出月球的密度．根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
则月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（3）根据万有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．
答：（1）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球的密度为$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（3）求月球表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．