Question

（2008?南通三模）如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α=30°，导轨上端跨接一定值电阻R，导轨电阻不计．整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨保持电接触良好，金属棒的质量为m、电阻为r，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，当金属棒沿导轨下滑距离为s时，速度达到最大值v_m．求：
（1）金属棒开始运动时的加速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，电阻R上产生的电热．

Answer 1

分析：（1）对金属棒开始运动时进行受力分析，受到重力、支持力，然后根据牛顿第二定律求出加速度的大小．
（2）当棒子开始运动时，又会受到水平向右的安培力，棒子做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小到0时，速度达到最大．根据最终达到平衡，列出平衡方程，求出磁感应强度．
（3）金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，重力势能减小，动能增加，内能增加，根据能量守恒先求出整个电路产生的热量，再求出电阻R上产生的热量．

解答：解：（1）金属棒开始运动时的加速度大小为a，由牛顿第二定律有
   mgsinα=ma①
解得  a=gsinα
（2）设匀强磁场的磁感应强度大小为B，则金属棒达到最大速度时
产生的电动势  E=BLv_mcosα   ②
回路中产生的感应电流 I=

E

R+r

 ③
金属棒棒所受安培力  F=BIL ④
cd棒所受合外力为零时，下滑的速度达到最大，则
     Fcosα=mgsinα⑤
由②③④⑤式解得  B=

1

L

2mg(R+r) 3vm

（3）设电阻R上产生的电热为Q，整个电路产生的电热为Q_总，则
mgssinα=

1

2

mvm2+Q总⑥
Q=

R

R+r

Q总⑦
由⑥⑦式解得  Q=

mR(gs-vm2)

2(R+r)

．

点评：解决本题的关键会根据牛顿第二定律求加速度，以及结合运动学能够分析出金属棒的运动情况，当a=0时，速度达到最大．