Question

如图甲所示，在xOy平面内存在垂直平面的磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示（规定向里为磁感应强度的正方向），在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v₀，方向沿y轴正方向的带负电粒子（不计重力）．若粒子的比荷大小．试求：

（1）带电粒子从出发到再次回到原点所用的时间；

（2）带电粒子从出发到再次回到原点的运动轨迹的长度；

（3）若粒子的比荷变为，同时在y轴方向加匀强电场，其电场强度的变化规律如图丙所示（沿y轴正方向电场强度为正），要使带电粒子能够在运动一段时间后回到原点，则E的取值应为多少？

Answer 1

解：（1）在0—t₀带电粒子做匀速圆周运动，其周期为        （2分）

则在t₀时间内转过的圆心角     

在2t₀—3t₀时间内带电粒子做匀速圆周运动，转过的圆心角仍为；……．

粒子运动的轨迹如图1所示，其中O₁、O₂、O₃、O₄分别为0—t₀、2t₀—3t₀、4t₀—5t₀、6t₀—7t₀内做匀速圆周运动的圆心位置，所以粒子从出发到再次回到原点所用的时间为t=8t₀．       （2分）

（2）由于带电粒子的速率不会改变，所以带电粒子从出发到再次回到原点的运动轨迹的长度s=8 v₀t₀．    （2分）

（3）由带电粒子的比荷可知粒子运动的周期 （1分）

则在t₀时间内转过的圆心角      

粒子在t₀时刻速度方向沿y轴负方向，则在t₀—2t₀时间内带电粒子受到电场力的作用，沿y轴负方向做匀加速直线运动；在2t₀—3t₀时间内带电粒子又做匀速圆周运动，转过的圆心角仍为，由于速度增大，因此，此时运动的轨道半径大于第一次时的半径．在3t₀—4t₀时间内，带电粒子在电场力的作用，沿y轴正方向做匀减速直线运动，由对称性可知，在4t₀时速度又变为v₀；在4t₀—5t₀时间内又做圆周运动，其运动情况与0—t₀时间内的相同；……．做出带电粒子的运动轨迹如图2所示，其中O₁、O₂、O₃、分别为粒子在0—t₀、2t₀—3t₀、4t₀—5t₀内做匀速圆周运动的圆心位置．设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r₁，在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r₂，由几何关系可知，要使带电粒子回到原点，则必须满足：

  （n=1，2，3，…）（1分）

               解得：（1分）

又由于   （1分）

解得： （n=1，2，3，…）（1分）