Question

已知地球的质量为M，万有引力恒量为G，地球半径为R，用以上各量表示在地球表面附近运行的人造地球卫星的第一宇宙速度v=

 

．若再知道地球的自转角速度为ω，则赤道上空一颗相对地球静止的同步卫星离地面的高度是

 

（用ω、M、R表示）．

Answer 1

分析：卫星绕地球表面运行，即卫星轨道半径等于地球半径时的速度是地球的第一宇宙速度；
卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，
由万有引力公式及向心力公式列方程，可以求出地球的第一宇宙．
同步卫星与地球自转同步，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解．

解答：解：（1）设卫星的质量是m，地球的第一宇宙速度是v，由牛顿第二定律可得：
G

Mm

R2

=m

v2

R

，
解得：v=

GM R

；
（2）同步卫星与地球自转同步，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
G

mM

(R+h)2

=mω²（R+h）
解得：h=

3	GM ω2

-R；
故答案为：

GM R

，

3	GM ω2

-R．

点评：本题考查了求地球的第一宇宙速度，知道第一宇宙速度的概念、熟练应用万有引力公式及向心力公式即可正确解题．
本题关键明确同步卫星绕地球做匀速圆周运动（以太阳为参考系），根据万有引力提供向心力列式求解．