Question

19．如图所示，顶角θ=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中．一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度υ₀沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r．导体棒与导轨接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触．t=0时，导体棒位于顶角O处．求：

    (1)t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向．

    (2)导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式．

    (3)导体棒在0～t时间内产生的焦耳热Q．

    (4)若在t₀时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x．

Answer 1

  （1）0到t时间内，导体棒的位移     x=v₀t

        t时刻，导体棒的长度          l=x

        导体棒的电动势               E=Blv₀

        回路总电阻                   R=（2x+x）r

        电流强度                     I=

        电流方向  b→a

  （2）F=BlI=

  （3）解法一

t时刻导体棒的电功率  P=I²R′=

∵P∝t        ∴Q=

  （3）解法二

       t时刻导体棒的电功率         P=I²R′

由于I恒定，                R′=v₀rt∝t

因此，                      =I²=I²

Q=t=

  （4）撤去外力后，设任意时刻t导体棒的坐标为x，速度为v，取得短时间Δt或很短距离Δx

        解法一

        在t～t+Δt时间内，由动量定理得

        BlIΔt=mΔv

        ∑（lvΔt）=∑mΔv

        ΔS=mv₀

扫过面积  ΔS=    （x₀=v₀t₀）

得

x=

或       设滑行距离为d

则       ΔS=d

即       d²+2v₀t₀d-2ΔS=0

解之     d= -v₀t₀+         （负值已舍去）

得x=v₀t₀+d=

    =

解法二

在x～x+Δx，由动能定理得

FΔx=mv²-m（v-Δv）²=mvΔv（忽略高阶小量）

得∑Δs=∑mΔv

ΔS=mv₀

以下解法同解法一

解法三（1）

由牛顿第二定律得    F=ma=m

                 得  Ft=mv

以下解法同解法一

解法三（2）

由牛顿第二定律得    F=ma=m=m

得    Fx=mvv

以下解法同解法二