Question

如图所示，平行金属导轨与水平面间夹角均为θ=37°，导轨间距为lm，电阻不计，导轨足够长．两根金属棒ab和a′b′的质量都是0.2kg，电阻都是1Ω，与导轨垂直放置且接触良好，金属棒和导轨之间的动摩擦因数为0.25，两个导轨平面处均存在着垂直轨道平面向上的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B的大小相同．让a′b′固定不动，将金属棒ab由静止释放，当ab下滑速度达到稳定时，整个回路消耗的电功率为 8W．求：
（1）ab达到的最大速度多大？
（2）ab下落了30m高度时，其下滑速度已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量Q多大？
（3）如果将ab与 a′b′同时由静止释放，当ab下落了30m高度时，其下滑速度也已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量Q′为多大？（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8 ）

Answer 1

分析：（1）ab棒向下运动切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，当达到最大速度时，受力平衡，由平衡条件和安培力公式列式求最大速度；
（2）ab下落了30m高度时，其下滑速度已经达到稳定，ab棒减小的重力势能转化为其动能、摩擦生热和焦耳热，根据能量守恒列式求回路电流的发热量Q．
（3）由对称性可知，当ab下落30m稳定时其速度为v′，a′b′也下落30m，其速度也为v′，ab和a′b′都切割磁感应线产生电动势，总电动势等于两者之和．
对ab棒，由平衡条件列式求出速度，再由能量守恒定律求此过程中回路电流的发热量Q′．

解答：解：（1）ab棒相当于电源，当其下滑速度最大时加速度为0，因此有：
  mgsinθ=BIL+μmgcosθ，
又I=

BLv

2R

，
代入得mgsinθ=

B2L2v

2R

+μmgcosθ   
由题意，有P=

U2

2R

=

B2L2v2

2R

联立解得 v=10m/s．
（2）由能量守恒关系得 mgh=

1

2

mv2+μmgcosθ

h

cosθ

+Q，
代入数据得  Q=30J．
（3）由对称性可知，当ab下落30m稳定时其速度为v′，a′b′也下落30m，其速度也为v′，ab和a′b′都切割磁感应线产生电动势，总电动势等于两者之和．
对ab棒受力分析，得mgsinθ=BI′L+μmgcosθ，
又I′=

2BLv′

2R

=

BLv′

R

代入解得 v′=5m/s．
对ab棒受力分析，由能量守恒 2mgh=

1

2

2mv′2+2μmgcosθ

h

sinθ

+Q′，
代入数据得 Q′=75 J．
答：
（1）ab达到的最大速度是10m/s．
（2）ab下落了30m高度时，其下滑速度已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量Q是30J．
（3）如果将ab与 a′b′同时由静止释放，当ab下落了30m高度时，其下滑速度也已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量Q′为75J．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合，关键是计算安培力的大小和分析能量怎样转化，根据平衡条件和能量守恒进行研究．