Question

一组人乘太空穿梭机，去修理位于离地球地表面0.6×10⁶m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H，机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里外，如图所示（已知：地球半径为6.4×10⁶m）
（1）在穿梭机内，一质量为70kg的人的视重是多少？
（2）①计算轨道上的重力加速度的值；
     ②计算穿梭机轨道上的速率和周期．
（3）穿梭机需首选进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以追上望远镜，用上题的结果判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率，解释你的答案．

Answer 1

分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度、周期和向心力的表达式进行讨论即可．

解答：解：
（1）穿梭机内的人处于完全失重状态，故视重为零．
（2）由mg=G

Mm

R2

得：gR²=GM
轨道处的重力角速度g′则有
mg′=G

Mm

(R+h)2

解得：
g′=

R2

(R+h)2

g
又：
G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

解得：
v=

GM R+h

周期：
T=

2πr

v

=2π(R+h)

R+h GM

（3）先减速减小半径进入较小的轨道，后加速以较大的角速度追上望远镜．由G

Mm

r2

=m

v2

r

知，穿梭机要进入较低轨道必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当v减小时，m

v2

r

才减小，这时G

Mm

r2

＞m

v2

r

，穿梭机进入半径较小的轨道，之后的速度逐渐增大，追上望远镜后，再增大速度，进入望远镜的轨道即可．
答：
（1）梭机内的人处于完全失重状态，故视重为零；
（2）g′=

R2

(R+h)2

g，v=

GM R+h

，T=2π(R+h)

R+h GM

（3）当v减小时，穿梭机进入半径较小的轨道，之后的速度逐渐增大，追上望远镜后，再增大速度，进入望远镜的轨道即可

点评：本题关键抓住万有引力提供向心力，先列式求解出线速度、角速度、周期和加速度的表达式，再进行讨论．