Question

7．如图所示，一质量不计的细线绕过无摩擦的轻质小定滑轮O与质量为5m的重物相连，另一端与套在一根固定的光滑的竖直杆上质量为m的圆环相连，直杆上有A、B、C三点，且B为A、C的中点，AO与竖直杆的夹角θ=53°，B点与滑轮O在同一水平高度，滑轮与竖直杆相距为L，重力加速度为g，设直杆足够长，圆环和重物运动过程中不会与其他物体相碰．现将圆环由A点静止开始释放（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6），试求：
（1）重物下降到最低点时圆环的速度大小；
（2）圆环能下滑的最大距离．

Answer 1

分析 （1）当圆环运动到B点时，重物下降到最低点位置，此时重物速度为零．取环与重物作为系统，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒，根据系统的机械能守恒定律可解出圆环的速度大小；
（2）当圆环下滑到最大距离时，圆环与重物的速度均为零，再由机械能守恒定律，结合几何关系可求出圆环下滑的最大距离．

解答 解：（1）圆环到B点时，重物下降到最低点，此时重物速度为零．
根据几何关系可知：圆环下降高度为 h_AB=$\frac{3}{4}$L
重物下降的高度为△h=$\frac{5}{4}$L-L=$\frac{1}{4}$L
系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，则有：mgh_AB+5mg△h=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上可解得：圆环的速度为 v₁=2$\sqrt{gL}$
（2）圆环能下滑最大距离H时，圆环和重物速度均为零．
由几何关系可得：重物上升的高度△H=$\sqrt{（H-\frac{3}{4}L）^{2}}$-$\frac{5}{4}$L
由于系统只有重力做功，所以系统机械能守恒
则有：mgH=5mg△H   
解得：H=$\frac{25}{12}$L
答：（1）重物下降到最低点时圆环的速度大小是2$\sqrt{gL}$；
（2）圆环能下滑的最大距离是$\frac{25}{12}$L．

点评 本题多次运用几何关系及机械能守恒定律，定律的表达式除题中变化的动能等于变化的重力势能外，还可以写成圆环的变化的机械能等于重物的变化的机械能．同时关注题中隐含条件的挖掘：重物下降到最低点的同时其速度等于零．