题目内容
如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，M、N分别是坐标轴上的两点，已知OM=a，ON=| 3 |
| ||
| 2 |
（1）如果粒子的速度与MN成θ（θ＜
| π |
| 2 |
（2）如果粒子在磁场中运动没有通过虚线PQ，求粒子运动时间最长时的速度大小．
分析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力．画出粒子运动轨迹图，结合几何知识求解
（2）粒子运动的轨迹刚好与虚线PQ相切并最终通过N点时，偏转圆心角最大，此时运动时间最长．画出轨迹图，根据几何知识列式，可求解
（2）粒子运动的轨迹刚好与虚线PQ相切并最终通过N点时，偏转圆心角最大，此时运动时间最长．画出轨迹图，根据几何知识列式，可求解
解答：解：（1）粒子的速度与MN成θ（θ＜
）角分两种情况，分别作出两种情况下粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹，如图：
上图中设圆心为O′，半径为r，
由牛顿第二定律得：qvB=
解得r=
根据几何知识可得，rcos（
-θ）=
=a
联立上式可得v=
下图中：根据几何知道得：rcos（θ-
）=
=a
代入可得：v=
综上可得，粒子的速度大小v=
（2）粒子运动的轨迹刚好与虚线PQ相切并最终通过N点时的运动时间最长．
设此时粒子的速度方向与y轴正向成α角，粒子运动的半径为r′
根据几何知识可得r′sin（
-α）+r′=
a
r′cos（
-α）=
=a
解得α=
，r′=a
则粒子的运动速度v=
答：（1）粒子的速度为
（2）粒子运动时间最长时的速度为
| π |
| 2 |
上图中设圆心为O′，半径为r，
由牛顿第二定律得：qvB=
| mv2 |
| r |
解得r=
| mv |
| qB |
根据几何知识可得，rcos（
| π |
| 2 |
| MN |
| 2 |
联立上式可得v=
| qBa |
| msinθ |
下图中：根据几何知道得：rcos（θ-
| π |
| 2 |
| MN |
| 2 |
代入可得：v=
| qBa |
| msinθ |
综上可得，粒子的速度大小v=
| qBa |
| msinθ |
（2）粒子运动的轨迹刚好与虚线PQ相切并最终通过N点时的运动时间最长．
设此时粒子的速度方向与y轴正向成α角，粒子运动的半径为r′
根据几何知识可得r′sin（
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
r′cos（
| π |
| 6 |
| MN |
| 2 |
解得α=
| π |
| 6 |
则粒子的运动速度v=
| qBa |
| m |
答：（1）粒子的速度为
| qBa |
| msinθ |
（2）粒子运动时间最长时的速度为
| qBa |
| m |
点评：本题考查粒子在磁场中的运动，洛伦兹力提供向心力，关键是画出轨迹图，利用几何关系列式求解．考查学生处理问题的灵活以及解决实际问题的能力．
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