Question

17．如图所示，比较长的传送带与水平方向的夹角θ=37°，在电动机带动下以v₀=4m/s的恒定速率顺时针方向运行．在传送带底端P处有一离传送带很近的固定挡板，可将传送带上的物体挡住．在距P距离为L=9m的Q处无初速度地放一质量m=1kg的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物体与挡板的碰撞能量损失及碰撞时间不计，取g=10m/s²，sin37°=0.6，求物体从静止释放到第一次返回上升至最高点的过程中：
（1）相对传送带发生的位移；
（2）系统因摩擦产生的热量；
（3）传送带多消耗的电能；
（4）物体的最终状态及该状态后电动机的输出功率．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出物块在下降过程和上升过程中的加速度，运用运动学公式求出下滑过程和上升过程的相对位移，求出相对运动距离之和；
（2）根据Q=fs求出产生的热量．
（3）传送带多消耗的电能等于产生的热量．
（4）物块每一次与挡板碰撞，速度较之前都在减小，最终碰撞后反弹的速度等于传送带的速度，则先向上做匀减速直线运动，再向下做匀加速直线运动，碰撞的速度不变．根据能量守恒定律，电动机的输出功率等于克服阻力做功的功率．

解答 解：（1）物块从Q点由静止释放，物块相对传送带向下滑，
物块沿传送带向下加速运动的速度：a₁=gsinθ-μgcosθ=2m/s²
与P碰前的速度v₁=$\sqrt{2{a}_{1}L}$=6m/s
物块从A到B的时间t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=3s
在此过程中物块相对传送带向下位移：s₁=L+v₀t₁=21m；
挡板碰撞后，以v₁的速度反弹，因v₁＞v₀，物块相对传送带向上滑，
物块向上做减速运动的加速度为：a₂=gsinθ+μgcosθ=10m/s²，
物块速度减小到与传送带速度相等的时间t₂=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{2}}$=0.2s，
在t₂时间内物块向上的位移L₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{0}}{2}$t₂=1m
物块相对传送带向上的位移：s₂=L₁-v₀t₂=0.2m，
与传送带速度相等后物块相对传送带向下滑，
物块向上做减速运动的加速度：a₃=gsinθ-μgcosθ=2m/s²
物块速度减小到零的时间t₃=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{3}}$=2s
物块向上的位移L₂=$\frac{{v}_{0}}{2}$t₃=4m
此过程中物块相对传送带向下的位移：s₃=vt₃-L₂=4m，
物块相对传送带发生的位移：s=s₁+s₂+s₃=25.2m；
（2）摩擦生热Q=μmgcosθ（s₁+s₂+s₃）=100.8J；
（3）传送带多消耗的电能：W=Q+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=108.8J；
（4）物块上升到传送带的最高点后，物块沿传送带向下加速运动，
与挡板P第二次碰掸前的速度v₂=$\sqrt{2{a}_{1}（{L}_{1}+{L}_{2}）}$=$\sqrt{20}$m/s，
碰后因v₂＞v₀，物块先向上做加速度为a₂的减速运动，
再做加速度为a₃的减速运动，物块向上的位移为：L₃=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{2}}$+$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{3}}$=4.2m，
物块与挡板第三次碰撞前的速度v₃=$\sqrt{2{a}_{1}{L}_{3}}$=2$\sqrt{4.2}$m/s，
在此类推，经过多次碰撞后物块以v₀=4m/s的速度反弹，
故最终物块在P与离P4m的范围内不断做向上的加速度为2m/s²的减速运动和向下做加速度为2 m/s²的加速运动，物块的运动达到这一稳定状态后，物块对传送带有一与传送带运动方向相反的阻力：F_f=μmgcosθ，
输出功率P=μmgcosθ•v=16W；
答：
（1）相对传送带发生的位移是25.2m；
（2）系统因摩擦产生的热量是100.8J；
（3）传送带多消耗的电能是108.8J；
（4）物体的最终状态及该状态后电动机的输出功率是16W．

点评 本题是一道力学综合题，难度较大，物体运动过程复杂，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、运动学公式、功的计算公式分析答题．