Question

两惯性系S′与S初始时刻完全重合，前者相对后者沿x轴正向以速度v高速运动．作为光源的自由质点静止于S′系中，以恒定功率P四周辐射（各向同性）光子．在S中观察，辐射偏向于光源前部（即所谓的前灯效应）．
（1）在S中观察，S′中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内．求该圆锥的半顶角α．已知相对论速度变换关系为ux=

ux′+v

1+ux′v/c2

，式中u_x与u_x′分别为S，S′系中测得的速度x分量，c为光速．
（2）求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量．

Answer 1

分析：（1）先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．再利用相对论速度变换关系得出该圆锥的半顶角α；
（2）S′系中，质点静止，在△t′时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少△m，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为△P=△mv，转化为光子的总能量为△E=△mc²．

解答：解：（1）先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是c．以θ和θ′分别表示光子速度方向在S和S′系中与x和x′轴的夹角，则光速的x分量为
u_x=c?cosθ
u′_x=c?cosθ′，
再利用相对论速度变换关系，得
cosθ=

cosθ′+ v c

1+ v?cosθ′ c

．
S′系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于0≤θ′≤

π

2

的方向角范围内，S系中，此范围对应0≤θ≤α．由上式求得
α=arccos

cos π 2 + v c

1+ v c cos π 2

=arccos

v

c

．
可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小．
（2）S′系中，质点静止，在△t′时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即：P△t′=△m0c2，
式中△m₀为△t′时间内质点减少的质量．
S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少△m，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为△P=△mv，即△P=

△m0v

1- v2 c2

；
转化为光子的总能量为△E=△mc²，即
△E=

△m0c2

1- v2 c2

．
S′系中光源静止，测得的辐射时间△t′为本征时，在S系中膨胀为
△t=

△t′

1- v2 c2

，
由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分c别为

△P

△t

=

vP

c2

，

△E

△t

=p．
答：（1）在S中观察，S′中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内．该圆锥的半顶角α=arccos

v

c

．已知相对论速度变换关系为ux=

ux′+v

1+ux′v/c2

，式中u_x与u_x′分别为S，S′系中测得的速度x分量，c为光速．
（2）求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量

vP

c2

，总能量P．

点评：该题为2009年第26届全国中学生物理竞赛复赛试题第六题，考查爱因斯坦相对性原理和光速不变原理以及洛伦兹变换，对知识的要求和能力的要求都高，属于难度特别大的题目．