Question

20．如图所示，一根一端封闭的玻璃管，长度l=96cm，开口竖直向上，内有一段长度h=20cm的水银柱．当温度为27℃时，被封闭气体的长度H=60cm．温度至少升到多高时，水银柱才能从管中全部溢出？（大气压p₀=76cmHg）

Answer 1

分析 开始温度升高时，气体压强不变，作等压变化．在水银不断外溢过程中，气体不再是等压变化，当水银柱上升至管口时，温度再升高，水银就会开始溢出，这时的气体压强随水银的溢出而减小，气体的体积在不断增大，温度不需要继续升高．由理想气体状态方程列出液柱长度与温度的关系式，讨论温度的最值．

解答 解：开始温度升高时，气体压强不变，气体体积膨胀，水银柱上升．当水银柱上升至管口时，温度再升高，水银就会开始溢出，这时的气体压强随水银的溢出而减小，气体的体积在不断增大，温度不需要继续升高，设该温度为t₂，剩余的水银柱的高度为x，玻璃管的横截面积为S．
气体的初始状态为：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+h$          ${V}_{1}^{\;}=aS$             ${T}_{1}^{\;}=300K$
气体的末状态为：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+x$             ${V}_{2}^{\;}=（96-x）S$       ${T}_{2}^{\;}=273+{t}_{2}^{\;}$
根据理想气体状态方程有：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$，即：$\frac{（76+20）×60S}{273+27}=\frac{（76+x）（96-x）S}{273+{t}_{2}^{\;}}$
要使剩余气体全部溢出的温度${t}_{2}^{\;}$最高，则（76+x）（96-x）必为最大，
又因为76+x+96-x=182为常数，所以当76+x=96-x，即x=10cm时，（76+x）（96-x）有最大值
解得${t}_{2}^{\;}=112℃$时，水银全部溢出．
答：温度至少升到112℃时，水银柱才能从管中全部溢出

点评 解决本题的关键要正确分析气体的状态变化过程，明确水银不断外溢过程中，气体不再是等压变化，温度随体积增大按“抛物线”规律变化，由气态方程列式求解最值