Question

（2011?湛江二模）如图所示，半径为R的光滑

1

4

圆弧轨道与粗糙的斜面固定在同一竖直平面内，C、D两处与光滑水平轨道平滑连接，斜面与水平轨道的夹角为α．在水平轨道CD上，一轻质弹簧被a和b两个小物体压缩（不拴接），弹簧和小物体均处于静止状态．今同时释    放两个小物体，物体a恰好能到达圆弧轨道最高点A，物体b恰好能到达斜面最高点B，已知物体b与斜面间的动摩擦因数为μ，物体a的质量为m，物体b的质量为2m，重力加速度为g．求：
（1）以CD所在的平面为重力势能的参考面，小物体滑到圆弧轨道A点时的机械能是多少？
（2）释放小球前，弹簧的弹性势能E_p；
（3）斜面高h．

Answer 1

分析：（1）根据重力势能的公式Ep=mgh求出小物体在圆弧轨道A点的重力势能，在A点的动能为0，机械能等于动能加上重力势能．
（2）该题中a、b物体在被推开过程中，动量守恒，mv_a=2mv_b，A物体的动能可以通过机械能守恒

1

2

m

v

2 a

 =mgR求得，通过A、B速度的关系可以求出B物体的动能，最后根据能量守恒定律EP=

1

2

m

v

2 a

 +

1

2

× 2m

v

2 b

求出弹簧的弹性势能．
（3）对B物体运用能量守恒，动能的减小量等于重力势能的增加量和摩擦产生的内能．即

1

2

×2 m

v

2 b

=μ?2mgcosα?

h

sinα

+ 2mgh．

解答：解：（1）以水平轨道CD为参考面，小物体a滑到圆弧最高点A时的机械能为E_a=mgR①
（2）设a、b被弹开后瞬间的速度分别为ν_a和ν_b，同时释放两个小物体的过程中，两个小物体组成的系统动量守恒，有：
mv_a=2mv_b    ②
小物体a恰好到达圆弧最高点A，根据机械能守恒，有：

1

2

m

v

2 a

 =mgR          ③
释放两个小物体的过程中，弹簧和两个小物体组成的系统机械能守恒，有：
EP=

1

2

m

v

2 a

 +

1

2

× 2m

v

2 b

       ④
联立②③④式并解得  Ep=

3

2

mgR     ⑤
（3）小物体b恰好到达粗糙斜面的最高点B，根据能量守恒，有：

1

2

×2 m

v

2 b

=μ?2mgcosα?

h

sinα

+ 2mgh     ⑥
联立②③⑥式并解得斜面的高度为
h=

Rsinα

4(sinα+μcosα)

        ⑦

点评：此题主要考查动量守恒定律，机械能守恒定律，能量守恒定律的灵活应用．