题目内容
过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型,它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成,B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点,B、C间距与C、D间距相等,半径R1=2.0 m、R2=1.4 m。一个质量为m=1.0 kg的小球(视为质点),从轨道的左侧A点以v0=12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动,A、B间距L1=6.0 m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2,圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长,圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10 m/s2,计算结果保留小数点后一位数字。试求(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时,轨道对小球作用力的大小;
(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道,B、C间距L应是多少;
(3)在满足(2)的条件下,如果要使小球不脱离轨道,在第三个圆形轨道的设计中,半径R3应满足的条件;小球最终停留点与起点A的距离。
分析:主要考查动能定理和圆周运动。
解析:设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1,根据动能定理
①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F,根据牛顿第二定律
②
由①②得F=10.0 N③
(2)设小球在第二个圆轨道最高点的速度为v2,由题意
④
⑤
由④⑤得L=12.5 m⑥
(3)要保证小球不脱离轨道,可分两种临界情况进行讨论:
Ⅰ.轨道半径较小时,小球恰能通过第三个圆轨道,设在最高点的速度为v3,应满足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得R3=0.4 m
Ⅱ.轨道半径较大时,小球上升的最大高度为R3,根据动能定理
解得R3=1.0 m
为了保证圆轨道不重叠,R3最大值应满足
(R2+R3)2=L2+(R3-R2)2
解得R3=27.9 m
综合Ⅰ、Ⅱ,要使小球不脱离轨道,则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
0＜R3≤0.4 m
或1.0 m≤R3≤27.9 m
(若写成“1.0 m≤R3＜27.9 m”,也可)
当0＜R3≤0.4 m时,小球最终停留点与起点A的距离为L′,则
-μmgL′=0-
mv02
L′=36.0 m
当1.0 m≤R3≤27.9 m时,小球最终停留点与起点A的距离为L″,则
L″=L′-2(L′-L1-2L)=26.0 m
练习册系列答案
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