Question

宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆形轨道内部的最低点，静止一质量为m的小球（可视为质点），如图所示，当给小球水平初速度v₀时，刚好能使小球在竖直面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R．若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？

Answer 1

分析：由于小球恰好经过最高点，根据重力提供向心力，可求出在最高点的速度；小球在轨道内部运动过程中，只有重力做功，由动能定理列式可求出月球表面重力加速度g，根据重力提供向心力，可求出最小发射速度．

解答：解：设月球表面重力加速度为g，月球质量为M．
球刚好完成圆周运动，则小球在最高点有  mg=m

v2

r

        ①
从最低点至最高点由动能定理得-mg?2r=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

   ②
由①②可得  g=

v 2 0

5r

             
在月球表面发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度，重力提供向心力  m′g=m′

v2

R

 解得：v=

gR

=

v0

5r

5Rr

故在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为

v0

5r

5Rr

．

点评：本题涉及两个圆周运动，小球在光滑轨道内运动时，在最高点重力提供向心力；卫星在月球表面做圆周运动时，重力提供向心力．