Question

如图所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s₁、s₂分别为M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s₂O=R．以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板．质量为m、带电量为+q的粒子，经s₁进入M、N间的电场后，通过s₂进入磁场．粒子在s₁处的速度和粒子所受的重力均不计．
（1）若粒子恰好打在收集板D的中点上，求M、N间的电压值U₀；
（2）当M、N间的电压不同时，粒子从s₁到打在D上经历的时间t会不同，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，粒子恰好打在收集板D的中点上时，在磁场中运动

1

4

圆弧，轨迹半径等于R，根据牛顿第二定律和动能定理求解M、N间的电压．
（3）粒子从s₁到打在D上经历的时间t等于在电场中运动时间、磁场中运动时间和穿出磁场后匀速直线运动的时间之和．M、N间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中粒子磁场偏转角度越小，运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，故当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短．根据几何知识求出打在D的右端时轨迹半径，根据前面的结果求出粒子进入磁场时的速度大小，运用运动学公式求出三段时间．

解答：解：（1）粒子从s₁到达s₂的过程中，根据动能定理得qU₀=

1

2

mv²①
解得 v=

2qU m

粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB=m

v2

r

②
由①②得加速电压U与轨迹半径r的关系为 U=

qB2r2

2m

当粒子打在收集板D的中点时，粒子在磁场中运动的半径r₀=R
对应电压 U₀=

qB2R2

2m

（3）M、N间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，粒子在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，所以当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短．
根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的半径r=

3

R
由 ②得粒子进入磁场时速度的大小：v=

qBr

m

粒子在电场中经历的时间：t₁=

R

1 2 v

=

2 3 m

3qB

粒子在磁场中经历的时间：t₂=

3 R? π 3

v

=

πm

3qB

粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间：t₃=

R

v

=

3 m

3qB

粒子从s₁到打在收集板D上经历的最短时间为：t=t₁+t₂+t₃=

(3 3 +π)m

3qB

答：（1）粒子恰好打在收集板D的中点上，M、N间的电压值U₀是

qB2R2

2m

；
（2）粒子从s₁到打在收集板D上经历的最短时间为

(3 3 +π)m

3qB

．

点评：本题考查分析和处理粒子在磁场中运动的轨迹问题，难点在于分析时间的最小值，也可以运用极限分析法分析．