Question

【题目】如图所示为一种“子母球”表演，质量分别为m、3m的两个小球A、B静止在地面上方，B球距离地面的高度h=0.8m，A球在B球的正上方，让两小球同时由静止释放。设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度大小g=10m/s2，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。

（1）求球B第一次落地时球A的速度大小；

（2）若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，A球开始下落时距地面高度H的取值范围；

（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求H应满足的条件。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）A、B同时由静止释放，B落地时，两球的速度大小相等，有:

①

代入数值，得

（2）球B下落过程与反弹上升的过程具有对称性。设B往返时间为t，有:

②

设时间t内球A自由下落的高度为hA，有 ③

要保证B在第一次上升过程中与A相碰，球A自由下落的高度应大于初始时两球的高度差，即

④

依题意： ⑤

①~⑤联立，解得：

解法二：

B反弹后，A、B相对运动的速率为，设A、B经时间相碰，有 ②

要保证B在第一次上升过程中与A相碰，应小于B上升到最高点的时间，即

③

依题意： ④

①~④联立，解得：

（3）设两球相碰前后，球A的速度分别为、，球B的速度分别为、。发生弹性碰撞，两球相碰前后的动量守恒，总动能保持不变。取向下的方向为正，有

⑥

⑦

设球B反弹后经时间t1与球A相碰，此时间内球A下落的高度（）与球B上升的高度（）之和等于初始时两球的高度差（H-h）

即： ⑧

由运动学规律，有

⑨

⑩

要使A第一次碰后能到达比释放点更高的位置，碰后A的速率应大于碰前的速率

⑤~联立，得

⑤~联立求解过程

由⑥⑦得：

由⑧⑨得：

由⑧⑩得：

代入得：

联立，得：

解得：

结合④，知

解法二：

要使A第一次碰后能到达比释放点更高的位置，需要在A下落过程中与B相碰，且碰后A的速率大于碰前的速率。

分析临界情况：当A碰后与碰前速率刚好相等时，根据能量守恒，A球碰后瞬间动能不变，B球碰后瞬间动能也不变，所以A原速反弹，B也原速反弹。

设碰前A的速度大小为，B的速度大小为，两球动量变化大小相等，所以有

2m＝2(3m)，即＝3 ⑥

B反弹后，A、B相对运动的速率为，设A、B经时间相碰，有

⑦

由运动学规律，有

⑧

⑨

⑥~⑨联立，得

要使A第一次碰后能到达比释放点更高的位置，需要满足：