Question

如图半径分别为2R和R的甲、乙两光滑圆形轨道固定放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，曲面轨道与水平面轨道在B处光滑连接（物块经过B点时没有机械能损失），现有一小物块从斜面上高h处的A点由静止释放，曲面轨道以及水平轨道BC段是光滑的，小物块与CD段以及D右侧的水平轨道间的动摩擦因数均为μ．已知小物块通过甲轨道最高点时与轨道间压力为物块重力的3倍，而后经过有摩擦的CD段后又进入乙轨道运动．
（1）求初始释放物块的高度h
（2）为避免出现小物块脱离圆形轨道乙而发生撞轨现象，则CD段的长度应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据动能定理，结合在最高点重力和压力的合力提供向心力求出初始释放物块的高度．
（2）根据牛顿第二定律求出小物块在乙轨道最高点的最小速度，通过动能定理求出CD段的长度应满足的条件．

解答：解：（1）根据动能定理得，
mg(h-4R)=

1

2

mvp2----------①
根据牛顿第二定律得，mg+Np=m

vp2

2R

----------②
已知 N_p=3mg
得 h=8R---------③
（2）若能通过最高点有：
mg(h-2R)-μmgx=

1

2

mvQ2----------④
NQ+mg=m

vQ2

R

----------⑤
因为N_Q≥0 所以有vQ≥

gR

----------⑥
得x=

h-2R

μ

-

vQ2

2μg

得x≤

11R

2μ

----------⑦
若不能到达圆心对应的水平线以上，则速度可减小到零，设能上升的高度为h′，有：mg（h-h′）-μmgx=0----------⑧
h′≤R----------⑨
得x≥

7R

μ

----------⑩
答：（1）初始释放物块的高度为8R．
（2）CD段的长度应满足x≥

7R

μ

．

点评：本题考查动能定理和牛顿第二定律的综合运用，难度中等，需加强这方面题型的训练．