Question

5．宇航员站在某一星球表面上高H处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面．已知该星球是质量均匀分布的球体，半径为R，万有引力常数为G，H远小于R，且可以忽略星球自转的影响．求：
（1）该星球表面的重力加速度的大小．
（2）该星球的质量M．
（3）该星球的密度ρ．

Answer 1

分析 根据平抛求出星球表面重力加速度，再根据重力与万有引力相等求星球的质量，根据密度的定义式计算星球的密度．

解答 解：（1）平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，根据自由落体运动的规律$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得$g=\frac{2H}{{t}^{2}}$．
（2）在星球表上的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2H{R}^{2}}{{Gt}^{2}}$
（3）根据密度的定义可知$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2H{R}^{2}}{{Gt}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3H}{2πGR{t}^{2}}$
答：（1）该星球表面的重力加速度的大小为$\frac{2H}{{t}^{2}}$．（2）该星球的质量M为$\frac{2H{R}^{2}}{{Gt}^{2}}$．（3）该星球的密度ρ为$\frac{3H}{2πGR{t}^{2}}$．

点评 本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量．