Question

（2010?洛阳模拟）如图所示，一个半径为R的玻璃半球，平放在水平桌面上，已知玻璃的折射率为

2

，一束竖直平行光照射到半球的平面上与水平桌面上，结果在水平桌面上出现一个暗环，该暗环的面积为（不考虑多次反射）（　　）

• A．

  2

  2

  πR2
• B．2(

  2

  -1)πR2
• C．(

  2

  -1)π2R
• D．

  1

  2

  πR2

Answer 1

分析：光束垂直射入玻璃砖，方向不变进入玻璃砖，射到玻璃砖圆弧面时，发生折射，由全反射的知识画出光路图，用几何知识求暗环的半径即可求得其面积．

解答：解：设临界角为C，则由sinC=

1

n

=

1

2

，得C=45°
如图，取光线AB射到B点时恰好发生全反射，则入射角等于45°，折射角等于90°，AB光线右侧、OE左侧光线都能射到桌面上，则根据几何知识得：
BG=R（1-cosC ）=R（1-

2

2

），
FC=2BG=R（2-

2

）
则CE=R-FC=（

2

-1）R
故暗环的面积为S=πR²-πCE²=πR²-π[（

2

-1）R]²=2（

2

-1）πR²
故选：B．

点评：解决本题关键要知道全反射临界角的含义及公式，能画出光路图是解决此类问题的关键．同时注意几何知识的应用．