Question

如图所示，在上、下水平放置的金属板H、Q的上方有一个匀强磁场区域，磁感应强度为B，垂直纸面向外，该磁场被限制在边长为d的正方形弹性塑料边界EFPG中．水平金属导轨M、N用导线和金属板H、Q相连，导轨间的距离为L．金属棒CD置于导轨上且与导轨垂直，可以无摩擦的滑动．在导轨所在空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B′．虚线OO′平分金属板和正方形磁场区域EFPG，O、O′为金属板上的小孔，磁场边界PG紧靠金属板H，且PG正中央开有一小孔与O′对接．在小孔O的下方有一个质量为m、电量大小为q的弹性小球飘入两金属板间，其飘入金属板间的速率可以忽略不计，不考虑小球的重力以及对金属板电势的影响．求：
（1）当金属棒CD以速度v向右匀速运动时，金属板H、Q哪一块板的电势高？这两块金属板间的电势差为多少？
（2）在（1）问中，若从小孔O飘入两金属板间的弹性小球能被加速，则小球带何种电荷？其到达O′的速率有多大？
（3）金属棒CD在导轨上应以多大的速率匀速运动，才能使弹性小球进入磁场与弹性塑料边界EFPG发生碰撞后又返回到小孔O处？已知小球每次与边界发生碰撞均无电荷迁移和机械能损失．

Answer 1

分析：CD棒切割磁感线，由右手定则可确定金属板电势高低且电势差．根据小球在金属板间被加速则可判定电性，由动能定理可求出到达O′的速率．要使弹性小球进入磁场与弹性塑料边界EFPG发生碰撞后又返回到小孔O处（小球每次与边界发生碰撞均无电荷迁移和机械能损失），虽碰撞多次，但时间是小球做圆周运动周期的整数倍，则棒的速度有多种．

解答：解：（1）根据右手定则，可以判定金属棒的C端电势高，故金属板H的电势高
金属棒向右匀速运动时，产生的电动势为E=B^′Lv
金属板Q、H间的电势差U=E  所以金属板Q、H间的电势差为U=B′Lv            （1）
（2）在（1）问中，由于金属板H的电势高，故小球带负电荷．
根据qU=

1

2

mu2  （2）
 由（1）（2）式解得小球到达O′的速率为 u=

2qB′Lv m

（3）
（3）小球被加速后进入磁场区域，在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，有Bqu=m

u2

r

  
 解r=

mu

Bq

（4）
要小球返回到小孔O处，小球离开磁场时必与边界PG垂直射出．小球进入磁场后可能出现的几种运动轨迹如图所示

小球作圆周运动的半径r=

1

2n

d   式中n=1、2、3、4  （5）
由（4）（5）式解得小球作圆周运动的速度大小u=

Bqd

2nm

  （6）
由（3）（6）解得金属棒向右匀速运动的速度大小v=

B2qd2

8n2mLB′

点评：带电粒子在棒切割磁感线产生的电场中被加速后，又进入磁场中被偏转．但磁场对其不做功，则要想再次从原点出来，所以完成时间是周期的整数倍．