Question

一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°，大小为v₀的带正电粒子，如图所示，已知粒子电荷量为q,质量为m（重力不计）：

（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v₀应满足什么条件？

（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一条边界处射出，出射点位于该边界上何处？最长时间是多少？

Answer 1

解：当轨迹与cd边相切时，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况，设此半径为R₁，如图1所示分析可知∠OO′Q=60°，则有R₁cos60°+=R₁,R₁=L。当轨迹圆与ab边相切时，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况，设此半径为R₂，如图2所示分析可知∠OO′Q=120°，则有

         

(图1)                               (图2)

R₂sin30°+R₂=,R₂=

故粒子从ab边射出的条件为R₂＜R≤R₁,即＜R≤L。

根据qv₀B=得v₀=。所以＜v₀≤

（2）由T=，则t=

∴粒子在磁场区域内做匀速圆周运动的圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长。从两图中可以看出，如果粒子从cd边射出，则圆心角最大为60°，若粒子从ab边射出，则圆心角最大为240°，粒子从ad边射出，圆心角最大为360°－60°＝300°，由于磁场无右边界，故粒子不可能从右侧射出。

综上所述，为使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad边射出，如图2所示，设出射点到O的距离为x，从图中可以看出，P点是离O距离最大的出射点。

因PO=R₂=故x≤，即出射点到O的距离不超过，t_max=。