Question

如图所示，MN、PQ是足够长的光滑平行导轨，其间距为L，且MP⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ=30°．MP接有电阻R．有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B₀．将一根质量为m的金属棒ab紧靠MP放在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻也为R，其余电阻均不计．现用与导轨平行的恒力F=mg沿导轨平面向上拉金属棒，使金属棒从静止开始沿导轨向上运动，金属棒运动过程中始终与MP平行．当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd 到MP的距离为s．求：
（1）金属棒达到稳定速度的大小；
（2）金属棒从静止开始运动到cd的过程中，电阻R上产生的热量；
（3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，写出磁感应强度B随时间t变化的关系式．

Answer 1

分析：（1）金属棒先加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，达到稳定状态，根据平衡条件和安培力的表达式F=

B 2 0 L2v

2R

结合求出金属棒达到稳定速度的大小；
（2）金属棒从静止开始运动到cd的过程中，恒力、重力和安培力对金属棒做功，根据动能定理求得金属棒克服安培力做功，由功能关系可知，电路中产生的总热量等于金属棒克服安培力做功，电阻R上产生的热量等于总热量的一半；
（3）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时金属棒不受安培力而做匀加速运动，根据牛顿第二定律可求得加速度，根据t时刻回路的磁通量等于开始时刻的磁通量，即可求出B随时间t变化的关系式．

解答：解：（1）当金属棒稳定运动时做匀速运动，则有 F=mgsinθ+F_安
又安培力 F安=

B 2 0 L2v

2R

解得：v=

mgR

B 2 0 L2

（2）金属棒从静止开始运动到cd的过程，由动能定理得：
   Fs-mgssinθ-W克安=

1

2

mv2-0
解得：W克安=

1

2

mgs-

m3g2R2

2 B 4 0 L4

则根据功能关系得：回路中产生的总热量为Q=W克安=

1

2

mgs-

m3g2R2

2 B 4 0 L4

故电阻R上产生的热量为Q_R=

1

2

Q
则得  QR=

1

4

mgs-

m3g2R2

4 B 4 0 L4

（3）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．此时金属棒将沿导轨做匀加速运动．
根据牛顿第二定律 F-mgsinθ=ma，
解得，a=

1

2

g
根据磁通量不变，则有
  B₀LS=BL（S+vt+

1

2

at2）
解得，B=

4 B 3 0 L2S

B 2 0 L2(4S+gt2)+4mgRt

答：（1）金属棒达到稳定速度的大小是

mgR

B 2 0 L2

；
（2）金属棒从静止开始运动到cd的过程中，电阻R上产生的热量是

1

4

mgs-

m3g2R2

4 B 4 0 L4

；
（3）磁感应强度B随时间t变化的关系式为B=

4 B 3 0 L2S

B 2 0 L2(4S+gt2)+4mgRt

．

点评：本题是电磁感应中收尾速度问题，分别从力和能量两个角度进行研究．当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，根据磁通量的概念，即可得到B的表达式．