Question

4．如图所示的游戏装置中，一高度为h的固定杆的顶部固定一光滑弧形轨道，一处于水平面内的圆盘可绕固定杆转动，圆盘上距圆盘中心为L的O₁处有一小圆孔．现让圆盘匀速转动，当过OO₁的直线处于轨道AB正下方且O₁在杆右侧时，将小球从A点静止释放，小球经导轨从B点水平抛出后恰好穿过圆孔O₁，已知小球由A点到B点的时间为t₀，不计空气阻力．求：
（1）A、B间的竖直高度差；
（2）圆盘转动的角速度．

Answer 1

分析 （1）小球从B点抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，已知下落的高度h可求出运动时间，水平方向做匀速直线运动，已知水平位移L，即可求出小球B点速度，从A到B的过程中，根据动能定理求解AB高度差；
（2）小球运动的总时间与圆盘转动的时间相等，可得圆盘转动的时间，考虑圆盘转动的周期性，可知圆盘转动的角度θ=n•2π，由角速度定义式求出角速度ω．

解答 解：（1）小球从B点抛出后做平抛运动，
竖直方向上有h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
水平方向上有L=vt，
联立解得：v=$L\sqrt{\frac{g}{2h}}$，
从A到B的过程中，根据动能定理得：
mg${h}_{AB}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
解得：${h}_{AB}=\frac{{L}^{2}}{4h}$
（2）小球从A点运动到O₁点的时间t$′=t+{t}_{0}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+{t}_{0}$
在这段时间内，圆盘转过的角度为θ=ωt′=n•2π（n=1，2，3，…）
联立解得ω=$\frac{2nπ}{\sqrt{\frac{2h}{g}}+{t}_{0}}$（n=1，2，3，…）
答：（1）A、B间的竖直高度差为$\frac{{L}^{2}}{4h}$；（2）圆盘转动的角速度为$\frac{2nπ}{\sqrt{\frac{2h}{g}}+{t}_{0}}$（n=1，2，3，…）．

点评 题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来．