Question

1．直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小未知，MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B．今从MN上的A点（图中未标出）无初速度释放一个带正电粒子，该粒子运动经过MN 线上的O 点时速度为v，如图所示．该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R．若该粒子第三次经过直线MN时恰好又通过O点．不计粒子的重力．求：

（1）带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）电场的强度E；
（3）该粒子从开始运动到第二次过O点所需的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子第一次从MN进入磁场时做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力求出带电粒子的比荷；
（2）第二次到达MN时速度方向垂直与电场强度方向向上，进入电场后，在电场中做类平抛运动，根据平抛运动基本规律求出E以及在电场中做类平抛运动的时间；
（3）粒子从A点运动到O点做匀加速直线运动，根据t=$\frac{v}{a}$求出时间，粒子在磁场中运动了$\frac{7}{8}T$，而T=$\frac{2πm}{Bq}$，进而求出粒子做圆周运动的时间，三段时间之和即为所求时间．

解答 解：（1）粒子第一次从MN进入磁场时做匀速圆周运动，第二次到达MN时速度方向垂直与电场强度方向向上，进入电场后，在电场中做类平抛运动，
第三次经过直线MN时恰好又通过O点，运动轨迹如图所示：
根据洛伦兹力提供向心力得：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$\frac{q}{m}=\frac{v}{BR}$
（2）粒子第二次经过MN后进入电场时速度方向垂直与电场强度方向向上，进入电场后，在电场中做类平抛运动，
根据几何关系得：
垂直与E方向的位移x=R，
沿着E方向的位移y=R，
则有：${t}_{1}=\frac{x}{v}=\frac{R}{v}$，
R=$\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t}^{2}$
解得：E=2Bv
（3）粒子从A点运动到O点做匀加速直线运动，运动时间${t}_{2}=\frac{v}{a}=\frac{v}{\frac{Eq}{m}}=\frac{R}{2v}$，
粒子在磁场中运动了$\frac{7}{8}T$，而T=$\frac{2πm}{Bq}$，则粒子在磁场中运动的时间为${t}_{3}=\frac{7}{8}×\frac{2πm}{Bq}=\frac{7πR}{4v}$，
所以粒子从出发到再到达O点所需时间
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{3R}{2v}+\frac{7πR}{4v}$．
答：（1）带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{v}{BR}$；
（2）电场的强度E为2Bv；
（3）该粒子从开始运动到第二次过O点所需的时间为$\frac{3R}{2v}+\frac{7πR}{4v}$．

点评 本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．