Question

物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫做第一宇宙速度，地球自转较慢可以忽略不计时，地表处的万有引力约等于重力，这些理论关系对于其它星体也成立．若已知某星球的质量为M、半径为R，在星球表面某一高度处自由下落一重物，经过t时间落到星表面，不计星球自转和空气阻力，引力常量为G．试求：
（1）该星球的第一宇宙速度v；
（1）物体自由下落的高度h．

Answer 1

分析：1、根据万有引力提供向心力

GMm

R2

=

mv2

R

，化简可得该星球的第一宇宙速度．
2、在星球表面的物体受到的重力等于万有引力

GMm

R2

=mg，所以g=

GM

R2

，再根据自由落体运动的位移公式h=

1

2

gt2，代入计算即可．

解答：解：（1）根据万有引力提供向心力

GMm

R2

=

mv2

R

得
v=

GM R

（2）设星球表面重力加速度为g，在星球表面的物体受到的重力等于万有引力

GMm

R2

=mg，所以g=

GM

R2

有根据自由落体运动有h=

1

2

gt2
解得h=

GMt2

2R2

．
答：（1）该星球的第一宇宙速度v为

GM R

；
（2）物体自由下落的高度h为

GMt2

2R2

．

点评：本题要掌握天体运动的两个关系：万有引力提供向心力；星球表面的物体受到的重力等于万有引力．并能根据题意选择恰当的向心力的表达式．