Question

（14分）如图所示，质量为m，边长为l的正方形平板与弹簧相连，弹簧的劲度系数为k，另一端固定于地面，平板处于平衡状态。质量为m的第一个小球从平台以一定速度垂直于平板的左边缘水平抛出，并与平板发生完全非弹性碰撞(设平台与板间高度差为h，抛出点在平板的左边缘正上方)。隔一段时间后，以相同速度抛出第二个小球。（假定在任何情况下平板始终保持水平，忽略平板在水平方向上的运动，且为方便计算起见，设h=3）

（1）求第一个小球落到平台上形成的振子系统的周期和频率；

（2）为了使第二个小球与平板不发生碰撞，其抛出速度的最小值为多少?

（3）在（2）的情况下，两小球抛出的时间差是多少?

Answer 1

解析：

（1）碰撞前后小球与平板（总质量为2m一起在新的平衡位置上下做简谐振动，如图中虚线所示，振子系统的周期为(1分)

振子系统的频率为（式中ω为角频率）(1分)

（2）碰撞前，第一个小球在竖直方向的速度为(1分)

发生完全弹性碰撞，竖直方向有近似动量守恒(1分)

则碰撞后平板运动的速度为(1分)

振子振幅为(1分)

旋转参考矢量与y轴负方向的夹角满足，则(1分)

设析运动到最低点位置时第二个小球正好下落到这一高度，则第二个小球下落用时(1分)

由此可以求出两者不发生碰撞时，第二个小球的最小抛出速度为(1分)

（3）第一个小球下落到平板用时(1分)

碰撞后平板从原平衡位置压缩到最低位置用时(1分)

设两球抛出的时间相差，则

(1分)

考虑到板往复一次用时，第二个小球抛出时间可以是振子系统运动时间大于一个周期后，则两小球抛出的时间差为

           （n取非负整数）(2分)