Question

如图，在真空室内取坐标系Oxy，在x轴上方存在匀强电场，场强方向沿负y方向，x轴下方存在二个方向都垂直于纸面向外的匀强磁场区Ⅰ和Ⅱ，平行于x轴的虚线ab是它们的分界线，虚线上方（包括虚线处）的磁场区Ⅰ的磁感应强度B₁=0.20T，虚线下方的磁场区Ⅱ的磁感应强度B₂=0.10T，虚线与x轴相距d=4.0cm．在第一象限内有一点P，其位置坐标x=16.0cm、y=10.0cm．一带正电的粒子处于P点从静止释放，粒子的电荷量与质量之比

q

m

=5.0×107C/kg．为使粒子能通过坐标原点O，匀强电场的场强E必须满足什么条件？不计粒子的重力作用．

Answer 1

分析：粒子从P点开始运动，可运用动能定理列式求得粒子进入磁场Ⅰ时的速度v．粒子进入磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式可得到轨道半径的表达式．为使粒子能通过坐标原点O，有两种情况：
一种：若粒子没能进入磁场区Ⅱ而最后能通过坐标原点O，则粒子每次进入磁场区Ⅰ中运动都是转动半周后后就离开磁场进入电场，重复运动直到通过坐标原点O；
二种：若粒子能进入磁场区Ⅱ且最后能通过坐标原点O，则粒子的运动轨迹如图中（2）所示，A₁和A₂分别为粒子在磁场区Ⅰ和Ⅱ中做圆周运动的圆心；
根据几何知识求出粒子在磁场的轨道半径，即可求得E满足的条件．

解答：解：粒子从P点开始运动，进入磁场区Ⅰ时的速度为v，由动能定理得 qEy=

1

2

mv2 ①
用R₁、R₂分别表示粒子在磁场区Ⅰ和区Ⅱ中运动的轨道半径，有
    qvB1=m

v2

R1

 ②
    qvB2=m

v2

R2

 ③
（1）若粒子没能进入磁场区Ⅱ而最后能通过坐标原点O，则粒子每次进入磁场区Ⅰ中运动都是转动半周后后就离开磁场进入电场，重复运动直到通过坐标原点O，粒子的一种运动轨迹如图中（1）所示，有
  n?2R₁=x ④
  R₁≤d   ⑤
解得 R1=

8.0

n

cm（n=2，3，4…）   ⑥
    E=

6.4×104

n2

V/m（n=2，3，4…） ⑦
（2）若粒子能进入磁场区Ⅱ且最后能通过坐标原点O，则粒子的运动轨迹如图中（2）所示，A₁和A₂分别为粒子在磁场区Ⅰ和Ⅱ中做圆周运动的圆心
在△A₁CD中，有cosθ=

DC

A1C

=

d

R1

  ⑧
在△A₁ A₂F中，有 sinθ=

FA1

A1A2

=

x 2 -R1

R2-R1

  ⑨
解得cosθ=0.6，R₁=5.0cm  ⑩
   E=2.5×10⁴V/m （11）
当匀强电场的场强E=2.5×10⁴V/m或 E=

6.4×104

n2

V/m（n=2，3，4…）时，粒子能通过坐标原点O．
答：匀强电场的场强E=2.5×10⁴V/m或 E=

6.4×104

n2

V/m（n=2，3，4…）时，粒子能通过坐标原点O．

点评：本题一考虑问题要全面，不能漏解，二要抓住圆周运动的周期性，通过画轨迹，得到半径的通项，进行求解．