Question

已知海王星和地球的质量比m₁：m₂=16：1，它们的半径比R₁：R₂=4：1求：
（1）海王星和地球的第一宇宙速度之比v₁：v₂
（2）海王星表面和地球表面重力加速度之比g₁：g₂．

Answer 1

分析：（1）当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时速度即为第一宇宙速度，根据行星对卫星的万有引力提供向心力，求解第一宇宙速度之比．
（2）根据物体在行星表面时，其重力等于行星的万有引力，得到重力加速度的表达式，再求比值．

解答：解：（1）设卫星的质量为m，半径为R，行星的质量为M，行星的第一宇宙速度为v．
  则G

Mm

R2

=m

v2

R

  得到v=

GM R

所以

v1

v2

=

GM1 R1

GM2 R2

=

2

1

（2）设质量为m₀的物体分别在海王星和地球表面．
   G

M1m0

R 2 1

=m₀g₁    G

M2m0

R 2 2

=m₀g₂
   则

g1

g2

=

M1

M2

?

R 2 2

R 2 1

=1
答：（1）海王星和地球的第一宇宙速度之比v₁：v₂=2：1；
    （2）海王星表面和地球表面重力加速度之比g₁：g₂=1：1

点评：对于卫星问题，要建立物理模型：卫星绕行星做匀速圆周运动，由行星对卫星的万有引力提供卫星的向心力．