Question

2．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点．已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球的质量；
（2）该星球得密度；
（3）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球做竖直上抛运动，由匀变速运动的速度公式可以求出重力加速度，根据万有引力等于重力可以求出星球的质量．
（2）运用竖直上抛运动规律求出星球表面重力加速度．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量，从而算出星球的密度．
（3）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球做竖直上抛运动，运动时间：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$，
解得，星球表面的重力加速度：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$，
星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得星球质量：M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）星球密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$；
（3）卫星绕星球做圆周运动，重力（万有引力）提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度为：v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$；
答：（1）该星球的质量为$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）该星球得密度为$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$；
（3）该星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由引力提供．