设数列a_n的首项a1=

1

2

，且an+1=

1 2 an，n是偶数 an+ 1 4 是奇数

，记bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3…
（1）求a₂•a₃
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）证明b₁+3b₂+5b₃+…+(2n-1)bn＜

3

2

．

已知函数f（x）=sinx-

1

3

x，x∈[0，π]，cosx₀=

1

3

（x₀∈[0，π]）．那么下面命题中真命题的序号是
①f（x）的最大值为f（x₀）          
 ②f（x）的最小值为f（x₀）
③f（x）在[0，x₀]上是减函数           
④f（x）在[x₀，π]上是减函数（　　）

数轴上有一列点

P

1

，

P

2

，

P

3

，…，

P

n

，…，已知当n≥2时，点

P

n

是把线段

P

n-1

P

n+1

作n等分的分点中最靠近

P

n+1

的点，设线段

P

1

P

2

，

P

2

P

3

，…，

P

n

P

n+1

的长度分别为

a

1

，

a

2

，

a

3

，…，

a

n

，其中

a

1

=1．
（Ⅰ）写出

a

2

，

a

3

和

a

n

(n≥2，n∈N*)的表达式；
（Ⅱ）证明

a

1

+

a

2

+

a

3

+…+

a

n

＜3(n∈N*)；
（Ⅲ）设点

M

n

(n，

a

n

)(n＞2，n∈N*)，在这些点中是否存在两个点同时在函数y=

k

(x-1)2

(k＞0)的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

已知函数f(x)=

ex

x2-ax+a

．
（Ⅰ）当0＜a＜4时，试判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．

已知点

F

1

、

F

2

分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为

2

+1，且△P

F

1

F

2

的最大面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）点M的坐标为(

5

4

，0)，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A、B两点，求

MA

•

MB

的值．

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．
1（1）．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
延长AB和DC相交于点P，若

PB

PA

=

1

2

，

PC

PD

=

1

3

，则

BC

AD

的值为．
（2）．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0上
的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的动点，则|AB|距离的最小值为．

已知函数f（x）的定义域为[1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f'（x）是f（x）的导函数，函数y=f'（x）的图象如图所示，则不等式组

x≥0 y≥0 f(2x+y)≤1

所表示的平面区域的面积是．

若-4≤a≤3，则过点A（a，a）可作圆x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的两条切线的概率为（　　）