Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点P（2，1），离心率e=

3

2

，直线l与椭圆C交于A，B两点  （A，B均异于点P），且有

PA

•

PB

=0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线l过定点．

Answer 1

分析：（1）由题意得椭圆经过点P（2，1）所以可得a与b的一个关系式，结合e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，可解出a，b，c．
（2）证明：设出A，B两个点的坐标，再分斜率存在与不存在两种情况设出直线l方程．
当斜率存在时：y=kx+m，直线l与椭圆C的方程联立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．结合根与系数的关系表示出

PA

•

PB

=

(6k+5m+3)(2k+m-1)

1+4k2

=0
所以（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．可解出答案．当斜率k不存在，易知x=

6

5

，符合题意．

解答：解：（1）由题意得椭圆经过点P（2，1）
所以

4

a2

+

1

b2

=1，
又因为e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
∴a²=8，b²=2，c²=6．故方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l的斜率存在时设直线l的方程为：y=kx+m
直线l与椭圆C的方程联立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
则x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-8

1+4k2

．

PA

•

PB

=(x1-2，y1-1)•(x2-2，y2-1)=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m-1）（kx₂+m-1）
=（1+k²）x₁x₂+(km-k-2)(x1+x2)+4+(m-1)2=(1+k2)•

4m2-8

1+4k2

+(km-k-2)•(-

4m2-8

1+4k2

)+4+(m-1)2
=

12k2+16km+5m2-2m-3

1+4k2

=

12k2+16km+(5m+3)(m-1)

1+4k2

=

(6k+5m+3)(2k+m-1)

1+4k2

=0
∴（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．
若6k+5m+3=0，则l：y=kx-

6k+3

5

=k(x-

6

5

)-

3

5

，∴直线l过定点(

6

5

，-

3

5

)．
若2k+m-1=0，则l：y=kx-2k+1=k（x-2）+1，∴直线l过定点（2，1），即为P点（舍去）．
当斜率k不存在，易知x=

6

5

，符合题意．
综上，直线l过定点(

6

5

，-

3

5

)

点评：解决此类问题的关键是准确的运算，抓住向量的数量积等于0结合根与系数的关系准确的化简得出结果，本题出错的关键是不能准确的进行代数运算，正确的代数运算也是高考成功的条件之一．