Question

（2013•西城区一模）已知函数f（x）=log₂x-2log₂（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是（　　）

• A．(0，

  1

  4

  ]
• B．[

  1

  4

  ，+∞)
• C．(0，

  1

  8

  ]
• D．[

  1

  8

  ，+∞)

Answer 1

分析：把函数f（x）的解析式代入f（x）≤1后，利用对数式的运算性质变形，去掉对数符号后把参数c分离出来，然后利用二次函数求最值，则c的取值范围可求．

解答：解：由f（x）≤1，得：log₂x-2log₂（x+c）≤1，
整理得：log2(x+c)≥log2

x 2

，所以x+c≥

x 2

，
即c≥-x+

2

2

x

（x＞0）．
令

x

=t（t＞0）．
则c≥-t2+

2

2

t．
令g（t）=-t2+

2

2

t，其对称轴为t=

2

4

．
所以g(t)max=g(

2

4

)=-(

2

4

)2+

2

2

×

2

4

=

1

8

．
则c≥

1

8

．
所以，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范围是[

1

8

，+∞)．
故选D．

点评：本题考查了对数型的函数及其应用，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答的关键是利用对数函数的单调性去掉对数符号，是中档题．