Question

已知函数f(x)=alnx-x+

a-1

x

．
（Ⅰ）若a=4，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域内无极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间，进而得到f（x）的极值；
（Ⅱ）由于f（x）在定义域内无极值，则f′（x）≥0或f′（x）≤0在定义域上恒成立，进而得到a满足的条件．

解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴f(x)=4lnx-x+

3

x

，(x＞0)
f′(x)=

4

x

-1-

3

x2

=

-x2+4x-3

x2

令f′（x）=0，解得x=1或x=3．
当0＜x＜1或x＞3时，f′（x）＜0
当1＜x＜3时，f′（x）＞0
又∵f（1）=2，f（3）=4ln3-2
∴f（x）取得极小值2，极大值4ln3-2．
（Ⅱ）f(x)=alnx-x+

a-1

x

，(x＞0)
f′(x)=

a

x

-1-

a-1

x2

=

-x2+ax-(a-1)

x2

=-

[x-(a-1)](x-1)

x2

令f′（x）=0，x=a-1或x=1
∵f（x）在定义域内无极值，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在定义域上恒成立．
∴a-1=1，解得a=2
故实数a的取值范围为a=2．

点评：本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．