Question

（2012•泸州二模）设a，b为正实数，

1

a

+

1

b

≤2

2

，（a-b）²=4（ab）³，则log_ab=（　　）

• A．1
• B．-1
• C．±1
• D．

  2

Answer 1

分析：由a，b为正实数，

1

a

+

1

b

≤2

2

，知a+b≤2

2

ab，由（a-b）²=4（ab）³，知（a+b）²=4ab+（a-b）²=4ab+4（ab）³≥4•2

ab•(ab)3

=8（ab）²，故a+b≥2

2

ab，所以a+b=2

2

ab，由此能够求出log_ab．

解答：解：∵a，b为正实数，

1

a

+

1

b

≤2

2

，
∴a+b≤2

2

ab，
∵（a+b）²=4ab+（a-b）²=4ab+4（ab）³≥4•2

ab•(ab)3

=8（ab）²，
∴a+b≥2

2

ab，①
故a+b=2

2

ab，②
由①中等号成立的条件知ab=1，
与②联立，解得

a= 2 -1 b= 2 +1

，或

a= 2 +1 b= 2 -1

．
∴log_ab=-1．
故选B．

点评：本题考要对数性质的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的灵活运用．