Question

在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（　　）

• A、1
• B、2
• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

分析：利用球的表面积公式，算出球的半径R=3．由题意可证出MN⊥平面SAC，可得SB⊥平面SAC，从而得出∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°．因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，利用正方体对角线公式即可算出SA长．

解答：解：取AC的中点E，连结BD、SE，
∵三棱锥S-ABC正棱锥，∴SA=SC，BA=BC．
又∵E为AC的中点，∴SE⊥AC且BE⊥AC
∵SE、BE是平面SBE内的相交直线，
∴AC⊥平面SBE，可得SB⊥AC
又∵MN是△SBC的中位线，
∴MN∥SB，可得MN⊥AC
又∵MN⊥AM且AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，结合MN∥SB，可得SB⊥平面SAC
又∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，
因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
设球的半径为R，可得4πR²=36π，解得R=3，
∴

3

SA=2R=6，解之得SA=2

3

故选：D

点评：本题给出正棱锥满足的条件，求它的侧棱长．着重考查了球内接多面体的性质、正三棱锥的性质、线面垂直的判定定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．